Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F$ được gọi là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Như vậy tìm nguyên hàm là làm ngược phép lấy đạo hàm: ta đi tìm hàm mà đạo hàm của nó bằng hàm đã cho.
Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là hằng số. Ta viết $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ và gọi đó là họ nguyên hàm của $f$. Hằng số $C$ không phải chi tiết trang trí: thiếu $C$ là bài làm thiếu vô số nghiệm, và mọi câu hỏi kiểu «tìm $F$ biết $F(x_0)=m$» đều giải được nhờ chính hằng số này.
Vì sao hằng số $C$ là bắt buộc, và vì sao chỉ có một hằng số. Nếu $F$ và $G$ cùng là nguyên hàm của $f$ trên khoảng $K$ thì $(G-F)'=f-f=0$ trên $K$; hàm có đạo hàm bằng $0$ trên một khoảng thì là hằng số, nên $G=F+C$. Hai chiều đều chặt: thêm hằng số nào cũng vẫn là nguyên hàm, và không có nguyên hàm nào khác ngoài dạng đó. Chú ý cụm «trên một khoảng»: trên $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ thì $\ln|x|+C_{1}$ với $x\gt 0$ và $\ln|x|+C_{2}$ với $x\lt 0$ có thể mang hai hằng số khác nhau, vì đó là hai khoảng rời.
| Hàm số $f(x)$ | Họ nguyên hàm $\displaystyle\int f(x)\,dx$ | Điều kiện |
|---|---|---|
| $k$ (hằng số) | $kx+C$ | $k\in\mathbb{R}$ |
| $x^{n}$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ | $n\ne -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+C$ | $x\ne 0$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}+C$ | |
| $a^{x}$ | $\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C$ | $a\gt 0,\ a\ne 1$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x+C$ | |
| $\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ | $\tan x+C$ | $x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ |
| $\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ | $-\cot x+C$ | $x\ne k\pi$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}+C$ | $x\gt 0$ |
Ba dòng hay bị nhớ nhầm nhất: nguyên hàm của $\sin x$ mang dấu trừ, nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^{2}x}$ cũng mang dấu trừ, còn $\dfrac{1}{x}$ cho $\ln|x|$ chứ không cho $\dfrac{x^{0}}{0}$ — công thức luỹ thừa bị loại trừ đúng ở $n=-1$.
Với $f,g$ có nguyên hàm trên $K$ và $k$ là hằng số khác $0$:
Lưu ý nguyên hàm không có tính chất nhân và chia: $\displaystyle\int f(x)g(x)\,dx$ khác $\displaystyle\int f(x)\,dx\cdot\int g(x)\,dx$. Gặp tích thì phải đổi biến hoặc lấy từng phần.
Nếu $\displaystyle\int f(u)\,du=F(u)+C$ và $u=u(x)$ có đạo hàm liên tục thì
$$\int f\big(u(x)\big)\,u'(x)\,dx=F\big(u(x)\big)+C.$$
Dấu hiệu nhận ra: trong biểu thức có một cụm $u(x)$ và đạo hàm của nó (sai khác một hằng số) đứng nhân bên ngoài. Hai hệ quả dùng gần như mỗi ngày, với $a\ne 0$:
Hệ số $\dfrac{1}{a}$ chính là chỗ mất điểm phổ biến nhất của cả chương: đổi biến xong quên nhân bù.
Với $u,v$ có đạo hàm liên tục trên $K$:
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$
Cách chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên quen thuộc lô – đa – lượng – mũ: gặp $\ln$ thì chọn $u=\ln$; không có $\ln$ mà có đa thức thì chọn $u$ là đa thức, phần còn lại ($\sin$, $\cos$, $e^{x}$) làm $dv$. Mục đích của phép chọn là để tích phân mới $\displaystyle\int v\,du$ dễ hơn tích phân ban đầu; nếu nó khó hơn thì ta đã chọn ngược.
Khi nào từng phần không cứu được. Phương pháp chỉ có lợi nếu bậc của đa thức giảm sau mỗi lần áp dụng. Với $\displaystyle\int x^{3}e^{x}dx$ phải làm ba lần mới hết $x$; với $\displaystyle\int e^{x^{2}}dx$ thì không lần nào có lợi — hàm này không có nguyên hàm biểu diễn được bằng các hàm sơ cấp, và đề thi không bao giờ hỏi.
Ví dụ khung mẫu: với $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx$ ta đặt $u=x$, $dv=e^{x}dx$, suy ra $du=dx$, $v=e^{x}$, và $\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx=x e^{x}-\int e^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C$.
Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm, và hằng số đưa được ra ngoài:
$$\int\left(6x^{2}-\dfrac{4}{x}+\sin x\right)dx=6\int x^{2}dx-4\int\dfrac{dx}{x}+\int\sin x\,dx.$$Chỉ được tách như thế với phép cộng và phép nhân với hằng số — không có quy tắc tương tự cho tích hai hàm.
Ba hạng tử ứng với ba dòng khác nhau của bảng nguyên hàm. Hạng tử giữa không dùng được công thức luỹ thừa: số mũ $n=-1$ bị loại trừ vì mẫu $n+1$ sẽ bằng $0$.
Ba hằng số riêng của ba hạng tử gộp thành một chữ $C$; viết ba chữ $C_{1},C_{2},C_{3}$ là thừa.
Đây là phép thử áp được cho mọi bài nguyên hàm: đạo hàm kết quả phải ra đúng $f(x)$.
$$\left(2x^{3}-4\ln x-\cos x+C\right)'=6x^{2}-\dfrac{4}{x}+\sin x=f(x).\ \checkmark$$Chỉ mất vài giây và bắt được gần hết lỗi sai dấu lẫn lỗi quên chia hệ số.
Đề cho khoảng $(0;+\infty)$ nên viết $\ln x$ là đủ. Nếu đề đổi thành khoảng $(-\infty;0)$ thì phải viết $-4\ln|x|$, và ở đó $\ln|x|=\ln(-x)$. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi chưa biết dấu của $x$ là viết một biểu thức không xác định trên nửa miền.
Khi đó phải nhân bù hệ số: $\displaystyle\int\sin 2x\,dx=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$. Kết quả thành $2x^{3}-4\ln x-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ — quên hệ số $\dfrac{1}{2}$ là sai gấp đôi ở hạng tử cuối.
Đặt $u(x)=3x^{2}+2$ là mẫu. Đạo hàm của nó là $u'(x)=6x$, đúng bằng tử số. Vậy biểu thức có đúng dạng $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ — dấu hiệu kinh điển của phép đổi biến cho lôgarit.
Đặt $u=3x^{2}+2$, khi đó $du=6x\,dx$. Thay trọn gói tử và $dx$ bằng $du$:
$$\int\dfrac{6x}{3x^{2}+2}\,dx=\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+C.$$Vì $3x^{2}+2\ge 2\gt 0$ với mọi $x$ nên bỏ được dấu giá trị tuyệt đối:
$$\int\dfrac{6x}{3x^{2}+2}\,dx=\ln\left(3x^{2}+2\right)+C.$$Đừng quên trả biến: để nguyên $\ln|u|+C$ là chưa trả lời câu hỏi.
Nếu tử là $2x$ thay vì $6x$ thì $u'=6x$ không còn khớp; phải viết $2x\,dx=\dfrac{1}{3}\,du$, cho
$$\int\dfrac{2x}{3x^{2}+2}\,dx=\dfrac{1}{3}\ln\left(3x^{2}+2\right)+C.$$Bỏ qua hệ số $\dfrac{1}{3}$ là ra kết quả lớn gấp ba lần đáp án đúng — lỗi mất điểm phổ biến nhất của cả chương.
Khi đó mẫu triệt tiêu tại $x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}$, nên không bỏ được dấu giá trị tuyệt đối và kết quả phải viết $\ln\left|3x^{2}-2\right|+C$, kèm ghi rõ đang xét trên khoảng nào trong ba khoảng xác định.
Biểu thức là tích của một đa thức bậc nhất với một hàm lượng giác, không có $\ln$. Theo thứ tự ưu tiên lô – đa – lượng – mũ, phần đa thức nhận vai $u$:
Với $u=2x+3$, $dv=\cos x\,dx$ thì $du=2\,dx$ và $v=\sin x$:
$$\int(2x+3)\cos x\,dx=(2x+3)\sin x-\int 2\sin x\,dx.$$$\displaystyle\int 2\sin x\,dx=-2\cos x$ (nhớ dấu trừ của nguyên hàm hàm sin). Thay vào, chú ý dấu trừ đứng trước tích phân:
$$-\int 2\sin x\,dx=-(-2\cos x)=+2\cos x.$$Hai số hạng $2\sin x$ triệt tiêu nhau — đúng là dấu hiệu của một lời giải từng phần làm chuẩn.
Nếu đặt $u=\cos x$ và $dv=(2x+3)dx$ thì $v=x^{2}+3x$ và tích phân mới là $\displaystyle\int(x^{2}+3x)\sin x\,dx$ — bậc đa thức tăng từ $1$ lên $2$, bài khó hơn lúc đầu. Thấy tích phân mới phình to ra thì dừng lại và đổi vai ngay, đừng cố làm tiếp.
Có $\ln$ thì $\ln$ được ưu tiên làm $u$: đặt $u=\ln x$, $dv=(2x+3)dx$, khi đó $du=\dfrac{dx}{x}$ và $v=x^{2}+3x$, cho
$$\int(2x+3)\ln x\,dx=(x^{2}+3x)\ln x-\int(x+3)\,dx=(x^{2}+3x)\ln x-\dfrac{x^{2}}{2}-3x+C.$$Thứ tự ưu tiên đổi thì vai cũng đổi — không có quy tắc «đa thức luôn làm $u$».