Rất nhiều câu hỏi của đời sống có cùng một dạng: chọn giá trị nào để một đại lượng đạt lớn nhất hoặc nhỏ nhất — thùng nào tốn ít vật liệu nhất, giá bán nào cho doanh thu cao nhất, kích thước nào cho diện tích rộng nhất. Khi đại lượng cần tối ưu viết được thành một hàm số của một biến, việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó trên một miền cho trước chính là lời giải. Ngoài ra, đạo hàm còn mang ý nghĩa tốc độ biến thiên, nên nó trả lời trực tiếp các câu hỏi về vận tốc, gia tốc và chi phí biên.
| Đại lượng thực tế | Mô hình toán | Ý nghĩa của đạo hàm |
|---|---|---|
| Quãng đường $s(t)$ | hàm theo thời gian | $v(t)=s'(t)$ là vận tốc tức thời |
| Vận tốc $v(t)$ | hàm theo thời gian | $a(t)=v'(t)=s''(t)$ là gia tốc |
| Chi phí $C(x)$ khi sản xuất $x$ đơn vị | hàm theo sản lượng | $C'(x)$ là chi phí biên — chi phí tăng thêm khi làm thêm một đơn vị |
| Doanh thu $R(x)=x\cdot p(x)$ | sản lượng nhân đơn giá | $R'(x)$ là doanh thu biên |
| Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)$ | hiệu doanh thu và chi phí | $P'(x)=0$ tại mức sản lượng tối ưu |
Phần khó của bài toán thực tiễn nằm ở việc dựng hàm số, không nằm ở việc đạo hàm. Bốn bước dưới đây là khung cố định, áp được cho mọi đề:
| Bước | Việc phải làm | Sai lầm nếu bỏ qua |
|---|---|---|
| 1. Đặt ẩn | Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn $x$, kèm đơn vị. Nếu bài có hai đại lượng chưa biết thì dùng ràng buộc của đề để biểu diễn cái thứ hai theo $x$. | Giữ hai ẩn, không đạo hàm được |
| 2. Tìm điều kiện | Xác định miền giá trị thực tế của $x$: độ dài dương, số sản phẩm không âm, cạnh cắt nhỏ hơn nửa cạnh tấm bìa… | Nhận nghiệm vô nghĩa (cạnh âm, thời gian âm) |
| 3. Lập hàm | Viết đại lượng cần tối ưu thành $f(x)$, rút gọn trước khi đạo hàm. | Đạo hàm biểu thức cồng kềnh, dễ sai dấu |
| 4. Khảo sát trên miền | Giải $f'(x)=0$, loại nghiệm ngoài điều kiện, lập bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút, rồi trả lời đúng thứ mà đề hỏi. | Trả lời nhầm: đề hỏi giá trị lớn nhất mà đưa ra vị trí đạt nó |
Bước 4 có một chi tiết quyết định điểm: miền là đoạn kín hay khoảng mở. Trên đoạn $[a;b]$, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chắc chắn tồn tại và phải so cả hai đầu mút với các điểm tới hạn. Trên khoảng mở, hai đầu mút không được lấy, và kết luận dựa vào bảng biến thiên.
a) Tối ưu diện tích. Ràng buộc thường là chu vi hoặc chiều dài hàng rào cố định. Ví dụ với chu vi $2p$ không đổi, đặt một cạnh là $x$ thì cạnh kia là $p-x$ và $S=x(p-x)$; đây là parabol có hệ số âm nên đạt lớn nhất tại $x=\dfrac{p}{2}$, tức hình vuông. Khi một cạnh dựa vào tường có sẵn thì ràng buộc đổi thành $x+2y=L$ và kết quả không còn là hình vuông nữa — phải lập hàm chứ không áp kết luận thuộc lòng.
b) Tối ưu thể tích và vật liệu. Với hộp đáy vuông cạnh $x$ và chiều cao $h$, hai ràng buộc hay gặp là thể tích cố định ($x^{2}h=V$) hoặc diện tích vật liệu cố định. Luôn dùng ràng buộc để khử $h$, đưa về hàm một biến. Nhớ phân biệt hộp có nắp ($2x^{2}+4xh$) với hộp không nắp ($x^{2}+4xh$) — chênh một mặt là ra kết quả khác.
Vì sao phải khử biến phụ trước khi đạo hàm. Biểu thức $S=x^{2}+4xh$ có hai biến; đạo hàm theo $x$ khi coi $h$ là hằng số là sai, vì thay đổi $x$ thì $h$ buộc phải đổi theo để giữ nguyên thể tích. Ràng buộc $x^{2}h=V$ chính là sợi dây nối hai biến; thay $h=\dfrac{V}{x^{2}}$ vào rồi mới đạo hàm thì mọi ảnh hưởng gián tiếp đã được tính đủ.
c) Tối ưu chi phí, doanh thu, lợi nhuận. Doanh thu bằng sản lượng nhân đơn giá; nếu đơn giá giảm theo sản lượng, chẳng hạn $p=a-bx$, thì $R(x)=x(a-bx)$ là hàm bậc hai. Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí. Điều kiện tối ưu $P'(x)=0$ tương đương $R'(x)=C'(x)$: doanh thu biên bằng chi phí biên. Với chi phí trung bình $\overline{C}(x)=\dfrac{C(x)}{x}$, điểm cực tiểu của nó là mức sản lượng hiệu quả nhất.
d) Chuyển động và quãng đường. Từ $s(t)$ suy ra $v(t)=s'(t)$ và $a(t)=v'(t)$. Cần phân biệt độ dịch chuyển $s(t_{2})-s(t_{1})$ với quãng đường đi được: nếu $v$ đổi dấu trong khoảng thời gian xét thì vật có lúc đi ngược lại, quãng đường phải cộng độ dài từng chặng chứ không lấy hiệu hai vị trí. Câu hỏi "vận tốc lớn nhất" là bài tìm giá trị lớn nhất của hàm $v(t)$, tức phải giải $v'(t)=a(t)=0$ — không phải giải $v(t)=0$.
Gọi một cạnh là $x$ (cm). Chu vi bằng $24$ nên nửa chu vi bằng $12$, do đó cạnh kia là $12-x$ (cm). Đây là chỗ ràng buộc của đề phát huy tác dụng: từ hai đại lượng chưa biết còn lại đúng một.
Hai cạnh đều phải dương: $x\gt 0$ và $12-x\gt 0$, tức $0\lt x\lt 12$. Đây là một khoảng mở, nên kết luận phải dựa vào chiều biến thiên chứ không so hai đầu mút — ở hai đầu hình chữ nhật suy biến thành đoạn thẳng, không còn là hình chữ nhật.
$S'(x)=12-2x$, cho $S'(x)=0$ tại $x=6$ — nằm trong khoảng điều kiện nên giữ lại. Dấu của $S'$ đổi từ dương sang âm khi $x$ vượt qua $6$, vậy $x=6$ là điểm cực đại và cũng là điểm đạt giá trị lớn nhất trên khoảng.
Cạnh kia bằng $12-6=6$ cm: hình cần tìm là hình vuông cạnh $6$ cm, diện tích lớn nhất bằng $36$ cm².
Thử hai kích thước khác cùng chu vi: $5\times 7$ cho $S=35$, $4\times 8$ cho $S=32$ — đều nhỏ hơn $36$. Kiểm bằng bất đẳng thức Cauchy: $x(12-x)\le\left(\dfrac{x+12-x}{2}\right)^{2}=36$, dấu bằng khi $x=12-x$, tức $x=6$ — khớp cả giá trị lẫn điểm đạt.
Rào ba cạnh bằng $24$ m thì ràng buộc là $x+2y=24$ với $y$ là hai cạnh vuông góc với tường. Khi đó $S=y(24-2y)=24y-2y^{2}$, cực đại tại $y=6$ và $x=12$: hình chữ nhật $12\times 6$, không phải hình vuông, và $S=72$ m². Áp thẳng kết luận thuộc lòng «hình vuông là tốt nhất» sẽ cho $8\times 8$ với $S=64$ — nhỏ hơn đáp án đúng.
Gọi chiều cao là $h$ (cm). Thể tích cho ràng buộc $x^{2}h=256$, suy ra
$$h=\dfrac{256}{x^{2}}.$$Từ đây mọi thứ viết được theo một ẩn $x$. Nếu giữ cả $x$ lẫn $h$ thì không đạo hàm được — đó là lỗi làm hỏng bài ngay từ dòng đầu.
Cạnh đáy phải dương: $x\gt 0$. Miền là khoảng mở nên phải kết luận bằng bảng biến thiên, không được thay «đầu mút».
Hộp không nắp: một mặt đáy $x^{2}$ và bốn mặt bên $4xh$.
$$S(x)=x^{2}+4x\cdot\dfrac{256}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1024}{x},\qquad x\gt 0.$$Mẫu $x^{2}$ luôn dương nên dấu của $S'$ là dấu của $2x^{3}-1024$. Giải $S'(x)=0$ cho $x^{3}=512$, tức $x=8$. Với $0\lt x\lt 8$ thì $2x^{3}\lt 1024$ nên $S'\lt 0$ (hàm giảm); với $x\gt 8$ thì $S'\gt 0$ (hàm tăng). Vậy $x=8$ là điểm cực tiểu duy nhất, đồng thời là điểm đạt giá trị nhỏ nhất.
$x=8$ cm, khi đó $h=\dfrac{256}{64}=4$ cm và diện tích vật liệu nhỏ nhất là
$$S=8^{2}+\dfrac{1024}{8}=64+128=192\ \text{cm}^{2}.$$Thử hai giá trị kề: $S(6)=36+\dfrac{1024}{6}\approx 206{,}7$ và $S(10)=100+102{,}4=202{,}4$ — cả hai đều lớn hơn $192$, đúng là $x=8$ cho đáy thấp nhất. Kiểm chéo bằng Cauchy ba số: $x^{2}+\dfrac{512}{x}+\dfrac{512}{x}\ge 3\sqrt[3]{x^{2}\cdot\dfrac{512}{x}\cdot\dfrac{512}{x}}=3\sqrt[3]{512^{2}}=192$, dấu bằng khi $x^{2}=\dfrac{512}{x}$, tức $x=8$.
Nếu hộp có nắp thì $S=2x^{2}+\dfrac{1024}{x}$, cho $S'=4x-\dfrac{1024}{x^{2}}=0$ tức $x^{3}=256$ và $x=4\sqrt[3]{4}\approx 6{,}35$ cm — không còn là $8$. Đếm sót hay đếm thừa một mặt là lệch hẳn kích thước tối ưu, dù mọi phép đạo hàm phía sau đều đúng.
Ẩn có sẵn: $x$ là số sản phẩm bán mỗi tháng. Điều kiện: $x\ge 0$ và đơn giá phải dương, $40-2x\gt 0$, nên $0\le x\lt 20$.
Doanh thu bằng sản lượng nhân đơn giá — đơn giá ở đây thay đổi theo sản lượng, nên không được lấy giá cố định:
$$R(x)=x(40-2x)=40x-2x^{2}.$$Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí:
$$P(x)=R(x)-C(x)=40x-2x^{2}-(4x+30)=-2x^{2}+36x-30.$$$P'(x)=-4x+36$, cho $P'(x)=0$ tại $x=9$, thuộc miền điều kiện. Hệ số của $x^{2}$ âm nên $P'$ đổi dấu từ dương sang âm tại đó: $x=9$ là điểm đạt giá trị lớn nhất.
$$P(9)=-2\cdot 81+36\cdot 9-30=-162+324-30=132.$$Bán $9$ sản phẩm mỗi tháng cho lợi nhuận lớn nhất là $132$ triệu đồng; khi đó đơn giá là $40-2\cdot 9=22$ triệu đồng mỗi sản phẩm.
Doanh thu biên $R'(x)=40-4x$; chi phí biên $C'(x)=4$. Điều kiện tối ưu quen thuộc là doanh thu biên bằng chi phí biên:
$$40-4x=4\;\Longleftrightarrow\;x=9,$$trùng kết quả trên. Thử thêm hai giá trị kề: $P(8)=-128+288-30=130$ và $P(10)=-200+360-30=130$ — cả hai đều nhỏ hơn $132$.
Bài này sinh ra hai số đều «đúng» trong nháp: $9$ (số sản phẩm) và $132$ (lợi nhuận). Đề hỏi lợi nhuận mà điền $9$, hoặc hỏi sản lượng mà điền $132$, đều mất trọn điểm dù mọi phép tính chính xác. Ở phần trả lời ngắn, đọc lại đúng câu hỏi trước khi điền là bước bắt buộc.
Đổi $C(x)=4x+50$ thì $P(x)=-2x^{2}+36x-50$: đạo hàm không đổi nên sản lượng tối ưu vẫn là $x=9$, chỉ lợi nhuận tụt còn $112$ triệu. Nhưng nếu đổi chi phí biến đổi thành $C(x)=8x+30$ thì $P'(x)=-4x+32=0$ cho $x=8$ và $P(8)=-128+256-30=98$ — sản lượng tối ưu đổi theo. Chi phí cố định không ảnh hưởng điểm tối ưu, chi phí biên thì có.