Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn hoặc lân cận một điểm. Ba loại đường tiệm cận được định nghĩa hoàn toàn bằng giới hạn, nên muốn tìm tiệm cận thì việc duy nhất phải làm là tính giới hạn — không có mẹo nào thay thế được.
| Loại tiệm cận | Điều kiện nhận biết | Phương trình |
|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm\infty$ hoặc $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm\infty$ | $x=x_{0}$ |
| Tiệm cận ngang | $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_{0}$ hoặc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_{0}$ | $y=y_{0}$ |
| Tiệm cận xiên | $a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\ne 0$ và $b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-ax\big]$ hữu hạn | $y=ax+b$ |
Hai điều rất hay bị nhớ sai. Thứ nhất, nghiệm của mẫu chưa chắc đã cho tiệm cận đứng: nếu nghiệm đó cũng là nghiệm của tử và rút gọn được thì giới hạn hữu hạn, đồ thị chỉ bị khuyết một điểm chứ không có tiệm cận. Thứ hai, một đồ thị không thể vừa có tiệm cận ngang vừa có tiệm cận xiên về cùng một phía, vì hai điều kiện giới hạn loại trừ lẫn nhau.
Một hiểu nhầm phải bỏ ngay. Đồ thị được phép cắt tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên. Định nghĩa chỉ đòi hỏi khoảng cách tiến về $0$ khi $x\to\pm\infty$, chứ không cấm gặp nhau ở vùng hữu hạn: hàm $y=\dfrac{x}{x^{2}+1}$ có tiệm cận ngang $y=0$ và cắt đúng đường đó tại $x=0$. Chỉ tiệm cận đứng là không bao giờ bị cắt, đơn giản vì tại đó hàm không xác định.
| Dạng hàm | Tiệm cận đứng | Tiệm cận ngang / xiên |
|---|---|---|
| Bậc ba $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\ne 0$) | không có | không có |
| $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$, $c\ne 0$ | $x=-\dfrac{d}{c}$ | ngang: $y=\dfrac{a}{c}$ |
| $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px+q}$ (tử không chia hết cho mẫu) | $x=-\dfrac{q}{p}$ | xiên: thương của phép chia đa thức |
Với dạng phân thức bậc hai trên bậc nhất, cách tìm tiệm cận xiên nhanh nhất là chia đa thức: viết $f(x)=ax+b+\dfrac{r}{px+q}$ thì phần dư tiến về $0$ khi $x\to\pm\infty$, nên đường thẳng $y=ax+b$ chính là tiệm cận xiên. Giao điểm của hai đường tiệm cận cũng là tâm đối xứng của đồ thị — chi tiết này giúp vẽ hình nhanh và kiểm tra lại kết quả.
Sơ đồ chuẩn gồm ba bước lớn, làm đúng thứ tự thì không bao giờ thiếu ý:
| Bước | Việc phải làm | Sản phẩm |
|---|---|---|
| 1. Tập xác định | Loại các giá trị làm mẫu bằng $0$ (hoặc biểu thức dưới căn âm) | $D$ |
| 2. Sự biến thiên | Tính $y'$, giải $y'=0$; xét dấu $y'$; tìm cực trị; tính các giới hạn tại biên và tìm tiệm cận; lập bảng biến thiên | bảng biến thiên |
| 3. Đồ thị | Vẽ tiệm cận, lấy thêm giao điểm với hai trục và vài điểm phụ, nối theo bảng biến thiên | hình vẽ |
Ba dạng đồ thị cần nhận ra ngay: bậc ba có hai điểm cực trị khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt và không có cực trị nào khi $y'$ không đổi dấu; phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định (đạo hàm $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$ giữ nguyên dấu), nên không bao giờ có cực trị; phân thức bậc hai trên bậc nhất có thể có hai cực trị và điều đặc biệt là giá trị cực đại có thể nhỏ hơn giá trị cực tiểu, vì hai nhánh đồ thị nằm hai bên tiệm cận đứng và không so sánh trực tiếp với nhau được.
Bảng biến thiên là bản tóm tắt đầy đủ nhất của hàm số. Từ bảng đọc được: tập xác định (các giá trị bị gạch trên dòng $x$), khoảng đồng biến — nghịch biến (dấu của $y'$), điểm cực trị (chỗ $y'$ đổi dấu), tiệm cận (các giới hạn ghi ở hai đầu và hai bên điểm bị loại), và số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ chính là số lần đường thẳng nằm ngang $y=m$ cắt đồ thị. Kỹ thuật cuối cùng này là chìa khoá của mọi câu hỏi về tương giao có tham số: chỉ cần so $m$ với giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.
Vì sao đếm nghiệm bằng cách đó lại đúng. Nghiệm của $f(x)=m$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y=f(x)$ với đường thẳng nằm ngang $y=m$ — hai cách nói của cùng một chuyện. Trên mỗi khoảng đơn điệu hàm nhận mỗi giá trị nhiều nhất một lần, nên số giao điểm không bao giờ vượt quá số khoảng đơn điệu: hàm bậc ba có tối đa ba nghiệm, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tối đa một.
Hàm có dạng $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $a=2,\,b=1,\,c=1,\,d=-1$. Kiểm điều kiện để đồ thị thật sự là hypebol:
$$ad-bc=2\cdot(-1)-1\cdot 1=-3\ne 0.$$Vậy tử không tỉ lệ với mẫu, đồ thị có đủ hai tiệm cận. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Mẫu triệt tiêu tại $x=1$. Thay $x=1$ vào tử: $2\cdot 1+1=3\ne 0$, nên phân thức không rút gọn được. Khi đó tử dần tới $3$ còn mẫu dần tới $0$:
$$\lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty.$$Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng.
Chia cả tử và mẫu cho $x$ (bậc cao nhất) rồi cho $x\to\pm\infty$:
$$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{2+0}{1-0}=2.$$Vậy $y=2$ là tiệm cận ngang, và nó dùng chung cho cả hai phía $+\infty$ và $-\infty$.
Đồ thị có đúng hai đường tiệm cận: $x=1$ và $y=2$. Chúng cắt nhau tại $I(1;2)$ — tâm đối xứng của đồ thị.
Hai phép thử. Một: tiệm cận ngang phải bằng $\dfrac{a}{c}=\dfrac{2}{1}=2$ — khớp. Hai: thay một số lớn, $y(101)=\dfrac{203}{100}=2{,}03$, quả thật sát $2$; và $y(1{,}01)=\dfrac{3{,}02}{0{,}01}=302$, quả thật vọt lên khi $x$ sát $1$.
Đổi tử thành $y=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$: mẫu vẫn triệt tiêu tại $x=1$ nhưng tử cũng vậy, rút gọn được $y=x+1$ với $x\ne 1$. Đồ thị là đường thẳng khuyết một điểm, không có tiệm cận đứng nào và giới hạn tại $x=1$ bằng $2$ chứ không phải $\infty$. Vì thế bước kiểm tử ở Bước 2 là bắt buộc, không phải thủ tục.
Hàm đa thức nên $D=\mathbb{R}$. Hàm bậc ba không có tiệm cận nào: khi $x\to\pm\infty$ thì $|y|\to+\infty$ nên không có tiệm cận ngang, và $\dfrac{y}{x}\to-\infty$ nên cũng không có tiệm cận xiên.
Hệ số bậc hai của $y'$ là $-3\lt 0$, nên tam thức mang dấu dương giữa hai nghiệm và âm ở ngoài — ngược với thói quen «trong trái ngoài cùng» quen dùng cho hệ số dương. Cụ thể: $y'\lt 0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, $y'\gt 0$ trên $(0;2)$.
Tại $x=0$ đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$: điểm cực tiểu, $y(0)=-2$. Tại $x=2$ đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$: điểm cực đại, $y(2)=-8+12-2=2$. Vậy hai điểm cực trị là $(0;-2)$ và $(2;2)$.
Điểm uốn của hàm bậc ba là trung điểm của hai điểm cực trị: $\left(\dfrac{0+2}{2};\dfrac{-2+2}{2}\right)=(1;0)$. Kiểm bằng đạo hàm cấp hai: $y''=-6x+6=0$ cho $x=1$ và $y(1)=-1+3-2=0$ — khớp. Phép thử này bắt được gần hết lỗi tính sai một trong hai giá trị cực trị.
Nhìn thấy $y(2)=2$ lớn hơn $y(0)=-2$ rồi kết luận theo thói quen «cực đại ở bên trái» sẽ trả lời cực đại $(0;-2)$, cực tiểu $(2;2)$ — sai cả hai. Quy tắc duy nhất đáng tin là chiều đổi dấu của $y'$, không phải vị trí trái phải.
Xét $y=x^{3}-3x^{2}+2$ (đổi dấu toàn bộ): đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành, hai điểm cực trị thành cực đại $(0;2)$ và cực tiểu $(2;-2)$ — vẫn tại $x=0$ và $x=2$, nhưng đổi vai trò và đổi dấu tung độ.
Chia $2x^{2}-x-1$ cho $x+1$: lấy $2x^{2}:x=2x$, nhân ngược $2x^{2}+2x$, trừ còn $-3x-1$; lấy $-3x:x=-3$, nhân ngược $-3x-3$, trừ còn dư $2$. Kết quả:
$$y=\dfrac{2x^{2}-x-1}{x+1}=2x-3+\dfrac{2}{x+1}.$$Thử lại phép chia bằng cách nhân ngược: $(x+1)(2x-3)+2=2x^{2}-x-3+2=2x^{2}-x-1$ — đúng bằng tử ban đầu.
Phần dư $\dfrac{2}{x+1}$ dần về $0$ khi $x\to\pm\infty$, nên
$$\lim_{x\to\pm\infty}\big[y-(2x-3)\big]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x+1}=0.$$Đúng định nghĩa, đường thẳng $y=2x-3$ là tiệm cận xiên.
Mẫu triệt tiêu tại $x=-1$; thay vào tử được $2\cdot 1+1-1=2\ne 0$ nên không rút gọn được, và $\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}y=+\infty$. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng.
Thay hoành độ $x=-1$ vào phương trình đường tiệm cận xiên:
$$y=2\cdot(-1)-3=-5\;\Rightarrow\;I(-1;-5).$$Đó cũng là tâm đối xứng của đồ thị.
Tại $x=-1$ hàm số không xác định (mẫu bằng $0$), nên không có «tung độ của hàm» ở đó để lấy. Ai vẫn thay vào sẽ gặp $\dfrac{2}{0}$ và thường bỏ qua phần dư rồi ghi $I(-1;0)$ — sai $5$ đơn vị so với $I(-1;-5)$.
Thử một giá trị lớn: $x=9$ cho $y=\dfrac{162-9-1}{10}=15{,}2$ trong khi đường xiên cho $2\cdot 9-3=15$ — lệch $0{,}2$, đúng bằng $\dfrac{2}{9+1}$. Nếu đề đổi tử thành $2x^{2}-x-3$ thì $(x+1)$ là nhân tử của tử, hàm rút gọn thành $y=2x-3$: khi đó đồ thị là một đường thẳng khuyết điểm $x=-1$, không có tiệm cận đứng và cũng không có tiệm cận xiên theo nghĩa của định nghĩa.