Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$. Số $M$ gọi là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$, ký hiệu $\max\limits_{D}f(x)=M$, nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=M$. Tương tự, $m$ là giá trị nhỏ nhất, ký hiệu $\min\limits_{D}f(x)=m$, nếu $f(x)\ge m$ với mọi $x\in D$ và có ít nhất một điểm đạt được. Hai chữ «đạt được» là phần bắt buộc của định nghĩa: một cận trên mà hàm không bao giờ chạm tới thì không phải giá trị lớn nhất.
Định lý. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Trên khoảng mở hoặc nửa khoảng thì kết luận này không còn đúng — ví dụ $y=x$ trên $(0;1)$ không có cả hai.
Quy tắc ba bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn $[a;b]$.
Vì sao chỉ cần so sánh đúng bấy nhiêu số. Giá trị lớn nhất đạt tại một điểm $x_0$ nào đó. Nếu $x_0$ nằm trong khoảng $(a;b)$ thì đó là một điểm cực trị địa phương, mà hàm có đạo hàm nên bắt buộc $f'(x_0)=0$ (định lý Fermat). Nếu $x_0$ không nằm trong thì nó chỉ có thể là $a$ hoặc $b$. Vậy danh sách «nghiệm của $f'$ trong đoạn, cộng hai đầu mút» là đầy đủ — không sót khả năng nào, và cũng vì thế không được cắt bớt.
Khi quy tắc ba bước hỏng. Ba tình huống làm định lý mất hiệu lực: hàm không liên tục trên đoạn (chẳng hạn $y=\dfrac{1}{x-2}$ trên $[1;3]$ — không có $\max$, không có $\min$); miền là khoảng mở (hàm $y=x$ trên $(0;1)$ có cận trên $1$ nhưng không đạt được); và hàm không có đạo hàm tại một điểm trong đoạn — khi đó điểm ấy phải được thêm vào danh sách ứng viên dù $f'$ không triệt tiêu ở đó.
Trên khoảng hoặc nửa khoảng thì phải lập bảng biến thiên đầy đủ và xét thêm giới hạn ở hai biên. Nếu giới hạn tại biên bằng $+\infty$ thì hàm không có giá trị lớn nhất; nếu hàm dần tới một số hữu hạn nhưng không đạt được, số đó cũng không phải giá trị lớn nhất.
| Miền xét | Cách làm | Điểm phải cẩn thận |
|---|---|---|
| Đoạn $[a;b]$ | Quy tắc ba bước ở trên | Loại nghiệm ngoài đoạn; tính đủ $f(a)$ và $f(b)$ |
| Khoảng $(a;b)$ hoặc $\mathbb{R}$ | Bảng biến thiên đầy đủ | Có thể không tồn tại $\max$ hoặc $\min$ |
| Hàm chứa $\sin x$, $\cos x$ | Đặt $t=\sin x$ hoặc $t=\cos x$ với $t\in[-1;1]$ | Phải ghi điều kiện $-1\le t\le 1$ rồi mới xét hàm theo $t$ |
| Bài có tham số $m$ | Tìm $\max$ hoặc $\min$ theo $m$ rồi cho bằng giá trị đề cho | Phải chia trường hợp theo chiều biến thiên trước khi lập phương trình |
Hai mẹo dùng được ngay. Thứ nhất, với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm không đổi dấu nên hàm đơn điệu trên đoạn đang xét; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất luôn rơi vào hai đầu mút, không cần giải $f'(x)=0$. Thứ hai, với hàm dạng $y=x+\dfrac{k}{x}$ trên miền $x\gt 0$ và $k\gt 0$, đạo hàm $y'=1-\dfrac{k}{x^2}$ triệt tiêu tại $x=\sqrt{k}$ và giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{k}$; kết quả này khớp với bất đẳng thức trung bình cộng — trung bình nhân, dùng để kiểm tra chéo rất nhanh.
Đạo hàm và phân tích thành nhân tử:
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$Vậy $f'(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=3$. Đối chiếu với đoạn $[-2;4]$: cả hai nghiệm đều nằm trong đoạn nên giữ lại cả hai. Bước lọc này phải làm ngay, trước khi tính giá trị — đề rất hay đặt một nghiệm nằm sát ngoài đoạn để bẫy.
Hai đầu mút và hai nghiệm vừa giữ:
$$f(-2)=-8-12+18+5=3,\qquad f(-1)=-1-3+9+5=10,$$$$f(3)=27-27-27+5=-22,\qquad f(4)=64-48-36+5=-15.$$Bốn số thu được là $3;\,10;\,-22;\,-15$. Số lớn nhất là $10$, số nhỏ nhất là $-22$. Sắp lại thành bảng biến thiên cho dễ nhìn:
$\max\limits_{[-2;4]}f(x)=10$, đạt tại $x=-1$; $\min\limits_{[-2;4]}f(x)=-22$, đạt tại $x=3$. Ở bài này cả hai đều rơi vào nghiệm của đạo hàm — nhưng đó là chuyện của riêng bài này, không phải quy luật.
Ba phép thử nhanh. Một: dấu của $f'$ đổi từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên đó là cực đại, khớp với việc $10$ là số lớn nhất. Hai: $f(4)=-15$ lớn hơn $f(3)=-22$, đúng với việc hàm đồng biến từ $3$ trở đi. Ba: thử một điểm bất kỳ trong đoạn, $f(0)=5$, nằm gọn giữa $-22$ và $10$ — nếu ra ngoài khoảng đó thì chắc chắn có lỗi tính.
Nghiệm $x=3$ rơi ra ngoài, phải loại. Danh sách chỉ còn $f(-2)=3$, $f(-1)=10$ và $f(2)=8-12-18+5=-17$. Khi đó $\max=10$ giữ nguyên nhưng $\min$ đổi thành $-17$ và đạt tại đầu mút $x=2$. Bài làm nào quên lọc nghiệm sẽ vẫn báo $-22$ — một số mà hàm không hề nhận trên đoạn đang xét.
Hàm cần $x\ne 0$; trên đoạn $[1;6]$ mọi giá trị của $x$ đều dương nên hàm liên tục ở đó và quy tắc ba bước dùng được. Đạo hàm:
$$y'=1-\dfrac{16}{x^2}=\dfrac{x^2-16}{x^2}.$$$y'=0\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=4$ hoặc $x=-4$. Chỉ $x=4$ thuộc $[1;6]$; nghiệm $x=-4$ nằm ngoài đoạn nên loại ngay, không được tính $y(-4)$.
$\min\limits_{[1;6]}y=8$, đạt tại $x=4$. (Giá trị lớn nhất là $17$ tại $x=1$, nếu đề hỏi thêm.)
Với $x\gt 0$:
$$x+\dfrac{16}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac{16}{x}}=2\sqrt{16}=8,$$dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{16}{x}$, tức $x=4$ — đúng cả giá trị lẫn điểm đạt. Đây là phép kiểm chéo đáng làm với mọi hàm dạng $x+\dfrac{k}{x}$: kết quả phải là $2\sqrt{k}$ tại $x=\sqrt{k}$, ở đây là $2\sqrt{16}=8$ tại $x=4$.
Giữ lại $x=-4$ rồi tính $y(-4)=-4-4=-8$ sẽ cho kết luận sai «giá trị nhỏ nhất bằng $-8$». Số $-8$ có thật, nhưng hàm chỉ nhận nó ở phía $x\lt 0$, tức bên ngoài đoạn đề cho. Trên $[1;6]$ hàm luôn dương nên một đáp số âm là dấu hiệu sai rõ ràng — nhìn dấu là loại được ngay.
Nghiệm $x=4$ rơi ra ngoài, danh sách chỉ còn hai đầu mút: $y(1)=17$ và $y(3)=3+\dfrac{16}{3}\approx 8{,}33$. Giá trị nhỏ nhất thành $\dfrac{25}{3}$ tại $x=3$ chứ không còn là $8$ — hàm nghịch biến trên cả đoạn nên hai đầu mút quyết định tất cả.
Trên đoạn $[0;2]$ mẫu $x+3$ chạy từ $3$ đến $5$, luôn khác $0$, nên hàm xác định và liên tục trên cả đoạn — quy tắc ba bước áp dụng được với mọi $m$.
Mẫu luôn dương nên $y'$ không đổi dấu trên đoạn: hàm đơn điệu, và phương trình $y'=0$ vô nghiệm (trừ khi $m=3$ thì $y'\equiv 0$). Hệ quả: giá trị lớn nhất chỉ có thể rơi vào $x=0$ hoặc $x=2$, tuỳ chiều biến thiên.
Giá trị lớn nhất ở đầu mút phải: $y(2)=\dfrac{2+m}{5}$. Cho bằng $3$:
$$\dfrac{2+m}{5}=3\;\Longleftrightarrow\;m=13.$$Nhưng $13\ge 3$, mâu thuẫn với giả thiết $m\lt 3$ của chính trường hợp này, nên loại.
Giá trị lớn nhất ở đầu mút trái: $y(0)=\dfrac{m}{3}$. Cho bằng $3$:
$$\dfrac{m}{3}=3\;\Longleftrightarrow\;m=9.$$Giá trị $9\gt 3$, thoả mãn giả thiết của trường hợp, nên nhận.
Khi đó $y=\dfrac{x+3}{x+3}=1$ với mọi $x$ trong đoạn; giá trị lớn nhất bằng $1\ne 3$, loại. Bỏ quên trường hợp biên này là lỗi hình thức, nhưng ở dạng câu đúng/sai thì nó thành một ý riêng và mất điểm thật.
$m=9$.
Thay $m=9$: $y=\dfrac{x+9}{x+3}$. Tính hai đầu mút $y(0)=\dfrac{9}{3}=3$ và $y(2)=\dfrac{11}{5}=2{,}2$. Vì $3\gt 2{,}2$ nên giá trị lớn nhất đúng bằng $3$ — khớp yêu cầu đề. Luôn thử lại như thế: nghiệm ở bài chia trường hợp rất dễ đúng phương trình nhưng sai trường hợp.
Giải xong hai phương trình mà không đối chiếu điều kiện của từng trường hợp sẽ cho «$m=9$ hoặc $m=13$», và tổng $9+13=22$ là một phương án nhiễu quen thuộc. Thử $m=13$: $y=\dfrac{x+13}{x+3}$ nghịch biến, nên giá trị lớn nhất là $y(0)=\dfrac{13}{3}\approx 4{,}33$ chứ không phải $3$.