Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Ta nói hàm số đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1,x_2\in K$ mà $x_1\lt x_2$ thì $f(x_1)\lt f(x_2)$; hàm số nghịch biến trên $K$ nếu $x_1\lt x_2$ kéo theo $f(x_1)\gt f(x_2)$. Đồng biến và nghịch biến gọi chung là đơn điệu. Chú ý: tính đơn điệu luôn gắn với một khoảng cụ thể, không bao giờ nói «hàm số đồng biến» mà không kèm khoảng.
Định lý (dấu hiệu nhận biết bằng đạo hàm). Giả sử $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
Định lý mở rộng — chỗ hay bị bỏ quên. Nếu $f'(x)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f'(x)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm của $K$ thì $f$ vẫn đồng biến trên $K$. Nhờ mở rộng này mà hàm $y=x^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ dù $y'(0)=0$, và mọi bài toán tìm tham số $m$ để hàm bậc ba đơn điệu trên $\mathbb{R}$ đều dùng dấu $\ge$ chứ không phải dấu $\gt$.
Vì sao dấu của đạo hàm lại quyết định chiều biến thiên. Lấy hai điểm $x_1\lt x_2$ trong $K$. Định lý Lagrange cho một điểm $c$ nằm giữa chúng sao cho $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$. Thừa số $x_2-x_1$ luôn dương, nên dấu của hiệu $f(x_2)-f(x_1)$ chính là dấu của $f'(c)$. Đó là toàn bộ nội dung của định lý — và cũng là lý do nó chỉ đúng trên một khoảng: nếu giữa $x_1$ và $x_2$ có một điểm hàm số không xác định thì không tồn tại $c$ nào để áp dụng.
Ba chỗ dấu hiệu đạo hàm bị hỏng.
Sơ đồ bốn bước xét tính đơn điệu.
Hai lớp hàm ra đề nhiều nhất.
| Dạng hàm | Đạo hàm | Kết luận nhanh |
|---|---|---|
| Bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ | $y'=3ax^2+2bx+c$ | Đơn điệu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta_{y'}\le 0$ (và $a\ne 0$) |
| Phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ $(c\ne 0)$ | $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ | Dấu của $y'$ chỉ phụ thuộc dấu của $ad-bc$; hàm đơn điệu trên từng khoảng xác định, không bao giờ trên cả $\mathbb{R}$ |
| Trùng phương $y=ax^4+bx^2+c$ | $y'=4ax^3+2bx$ | Luôn có ít nhất một điểm đổi dấu tại $x=0$ nên không đơn điệu trên $\mathbb{R}$ |
Bài toán tham số. Muốn hàm bậc ba đồng biến trên $\mathbb{R}$ ta cần $y'\ge 0$ với mọi $x$, tức $a\gt 0$ và $\Delta_{y'}\le 0$. Muốn hàm phân thức $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ đơn điệu trên một khoảng $(\alpha;\beta)$ thì ngoài điều kiện dấu của $ad-bc$ còn phải thêm điều kiện tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ không nằm trong khoảng đó. Bỏ quên điều kiện thứ hai là lỗi làm mất điểm nhiều nhất ở dạng này.
Đọc bảng biến thiên. Bảng biến thiên là cách trình bày gọn của bước 3 và bước 4. Dòng trên cùng ghi các điểm chia trục số theo thứ tự tăng dần; dòng giữa ghi dấu của $y'$ trên từng khoảng, ghi $0$ ngay dưới nghiệm của $y'$ và ghi hai gạch đứng dưới điểm hàm không xác định; dòng dưới cùng vẽ mũi tên đi lên ở khoảng $y'\gt 0$ và đi xuống ở khoảng $y'\lt 0$.
Đây là hàm đa thức nên xác định với mọi số thực: $D=\mathbb{R}$. Cả trục số là một khoảng duy nhất, không có điểm nào phải loại — điều này quan trọng vì nó cho phép ta nói về tính đơn điệu trên các khoảng liền mạch.
Đạo hàm từng hạng tử rồi phân tích thành nhân tử:
$$y'=3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x+1)(x-3).$$Vậy $y'=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=3$. Hai giá trị này là toàn bộ điểm chia trục số, vì đa thức không có điểm nào mà đạo hàm không tồn tại.
Tam thức $x^2-2x-3$ có hệ số bậc hai dương nên theo quy tắc «trong trái ngoài cùng»: mang dấu âm giữa hai nghiệm, dấu dương ở ngoài. Nhân với $3\gt 0$ thì dấu giữ nguyên, nên $y'\gt 0$ trên $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$, còn $y'\lt 0$ trên $(-1;3)$. Trình bày lại thành bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$ và trên khoảng $(3;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-1;3)$. Đối chiếu với đồ thị phác dưới đây: đoạn nào đồ thị đi lên khi $x$ tăng thì ở đó hàm đồng biến.
Thay ba giá trị nằm trong ba khoảng vừa kết luận và chỉ cần so dấu:
$$y'(-2)=3(-1)(-5)=15\gt 0,\qquad y'(0)=3\cdot 1\cdot(-3)=-9\lt 0,\qquad y'(4)=3\cdot 5\cdot 1=15\gt 0.$$Ba dấu này khớp đúng thứ tự $+,\,-,\,+$ trong bảng. Mẹo thử này mất chưa tới mười giây và bắt được gần hết lỗi xét dấu ngược.
Viết «đồng biến trên $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$» là sai. Lấy $x_1=-2$ và $x_2=4$ đều thuộc tập hợp đó, có $x_1\lt x_2$ nhưng $y(-2)=-20+4=6$ trong khi $y(4)=16-36+4=-16$, tức $y(x_1)\gt y(x_2)$ — định nghĩa đồng biến bị vi phạm. Phải viết «đồng biến trên mỗi khoảng ... và ...».
Đổi dấu hệ số bậc ba, xét $y=-x^3+3x^2+9x+4$, thì $y'=-3(x+1)(x-3)$ đổi dấu toàn bộ: hàm nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(3;+\infty)$, đồng biến trên $(-1;3)$ — hai kết luận hoán đổi cho nhau, còn hai điểm chia trục số thì giữ nguyên.
Mẫu phải khác $0$ nên $x\ne -2$, tức $D=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$. Ghi ngay ở bước này rằng tập xác định gồm hai khoảng rời nhau — đó là chi tiết quyết định câu trả lời cuối cùng.
Dùng công thức đạo hàm của thương:
$$y'=\dfrac{3(x+2)-1\cdot(3x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}.$$Kiểm nhanh bằng công thức riêng cho dạng $\dfrac{ax+b}{cx+d}$: với $a=3,\,b=-1,\,c=1,\,d=2$ thì tử của đạo hàm là $ad-bc=3\cdot 2-(-1)\cdot 1=7$, khớp.
Tử số là hằng số dương $7$; mẫu số là một bình phương nên dương với mọi $x\ne -2$. Vậy $y'\gt 0$ trên toàn bộ tập xác định, không có nghiệm nào của $y'$ — hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ có cực trị. Điểm chia trục số duy nhất là $x=-2$, nơi hàm không xác định, nên ở đó ghi hai gạch đứng chứ không ghi số $0$:
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$ và trên khoảng $(-2;+\infty)$.
Không được viết «đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$» cũng như «đồng biến trên $\mathbb{R}$». Phản ví dụ chỉ mất một dòng: $x_1=-3\lt x_2=0$ nhưng
$$y(-3)=\dfrac{-10}{-1}=10\quad\text{còn}\quad y(0)=\dfrac{-1}{2}=-0{,}5,$$tức $y(x_1)\gt y(x_2)$. Bước qua tiệm cận đứng thì giá trị hàm rơi từ $+\infty$ xuống $-\infty$, nên so sánh hai điểm ở hai nhánh là vô nghĩa.
Chọn hai điểm cùng một nhánh: $y(0)=-0{,}5$ và $y(1)=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67$. Đúng là $0\lt 1$ kéo theo $y(0)\lt y(1)$, khớp kết luận đồng biến trên $(-2;+\infty)$. Nếu đề đổi tử thành $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ thì $ad-bc=1\cdot 2-(-1)\cdot 1=3\gt 0$, kết luận không đổi; còn đổi thành $y=\dfrac{-3x-1}{x+2}$ thì $ad-bc=-6+1=-5\lt 0$ và hàm nghịch biến trên từng khoảng.
Mẫu $x+m$ triệt tiêu tại $x=-m$, nên $D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}$ và đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-m$. Vị trí của đường thẳng này so với khoảng $(1;+\infty)$ chính là điều kiện thứ hai mà đa số bài làm bỏ quên.
Áp dụng công thức cho dạng $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $a=1,\,b=3,\,c=1,\,d=m$:
$$y'=\dfrac{1\cdot m-3\cdot 1}{(x+m)^2}=\dfrac{m-3}{(x+m)^2}.$$Mẫu luôn dương, nên dấu của $y'$ trên cả tập xác định chỉ do dấu của $m-3$ quyết định.
Muốn hàm nghịch biến thì cần $y'\lt 0$, tức $m-3\lt 0$, cho $m\lt 3$. Ở đây dùng dấu ngặt chứ không phải $\le$: nếu $m=3$ thì $y'\equiv 0$ và hàm là hằng số $y=1$, không phải hàm nghịch biến.
Định lý về dấu đạo hàm chỉ áp dụng được trên một khoảng liền mạch. Muốn nói «nghịch biến trên $(1;+\infty)$» thì cả khoảng đó phải nằm gọn trong một khoảng xác định, nghĩa là $-m\notin(1;+\infty)$, tức $-m\le 1$ hay $m\ge -1$.
Giao $m\lt 3$ với $m\ge -1$ được
$$-1\le m\lt 3,\qquad\text{tức}\qquad m\in[-1;3).$$Với $m=-1$: hàm là $y=\dfrac{x+3}{x-1}$, tiệm cận đứng $x=1$ nằm đúng ở biên nên khoảng $(1;+\infty)$ vẫn nguyên vẹn, và $y'=\dfrac{-4}{(x-1)^2}\lt 0$ — nhận, vậy phải lấy dấu $\le$ ở đầu trái. Với $m=3$: hàm là $y=\dfrac{x+3}{x+3}=1$ — hằng số, loại, vậy đầu phải là dấu ngoặc. Thử hai đầu mút như thế là cách nhanh nhất để chọn đúng giữa bốn phương án chỉ khác nhau ở kiểu ngoặc.
Chỉ giải $m-3\lt 0$ rồi dừng sẽ cho $m\in(-\infty;3)$. Đây là một trong bốn phương án thường gặp, và nó nhận cả $m=-5$; khi đó tiệm cận đứng là $x=5$ nằm giữa khoảng $(1;+\infty)$, hàm không xác định tại $x=5$ nên không thể nghịch biến trên cả khoảng đó.
Đổi yêu cầu thành «nghịch biến trên $(-\infty;1)$» thì điều kiện dấu giữ nguyên $m\lt 3$, nhưng điều kiện vị trí lật ngược: cần $-m\ge 1$, tức $m\le -1$. Đáp số thành $m\le -1$ — cùng một bài, chỉ đổi khoảng là đổi hẳn nửa còn lại.