Phóng xạ là quá trình một hạt nhân không bền tự phát biến đổi thành hạt nhân khác, đồng thời phát ra các tia phóng xạ. Quá trình này không phụ thuộc vào những tác động bên ngoài như nhiệt độ, áp suất hay trạng thái hoá học của mẫu: đun nóng một mẫu radium hay hoà tan nó vào acid đều không làm nó phân rã nhanh hơn. Đây là điểm khác hẳn với phản ứng hoá học và là chỗ đề thi hay hỏi để phân biệt.
| Tia | Bản chất | Điện tích | Khả năng đâm xuyên | Hạt nhân con so với hạt nhân mẹ |
|---|---|---|---|---|
| Tia $\alpha$ | Dòng các hạt nhân helium $^{4}_{2}\text{He}$ | $+2e$ | Yếu nhất: bị chặn bởi một tờ giấy, đi được vài centimét trong không khí | Số khối giảm 4, số proton giảm 2 |
| Tia $\beta^{-}$ | Dòng các electron $^{0}_{-1}e$ | $-e$ | Trung bình: xuyên qua vài milimét nhôm, đi được vài mét trong không khí | Số khối không đổi, số proton tăng 1 |
| Tia $\beta^{+}$ | Dòng các positron $^{0}_{+1}e$ | $+e$ | Trung bình, gần như tia $\beta^{-}$, nhưng nhanh bị huỷ khi gặp electron | Số khối không đổi, số proton giảm 1 |
| Tia $\gamma$ | Sóng điện từ có bước sóng rất ngắn (photon năng lượng lớn) | $0$ | Mạnh nhất: cần vài chục centimét chì hoặc lớp bê tông dày mới chặn được | Không đổi cả số khối lẫn số proton, hạt nhân chỉ hạ mức năng lượng |
Ba điều nên nhớ từ bảng trên. Thứ nhất, thứ tự đâm xuyên ngược với thứ tự ion hoá: tia $\alpha$ đâm xuyên yếu nhất nhưng ion hoá môi trường mạnh nhất, tia $\gamma$ thì ngược lại. Thứ hai, tia $\gamma$ không làm biến đổi hạt nhân, nó chỉ đi kèm sau một phân rã $\alpha$ hoặc $\beta$ khi hạt nhân con còn ở trạng thái kích thích. Thứ ba, mọi phân rã đều tuân theo định luật bảo toàn số khối và bảo toàn điện tích, nên chỉ cần viết phương trình rồi cân hai con số đó là suy ra được hạt nhân con.
Chu kì bán rã $T$ là khoảng thời gian để một nửa số hạt nhân phóng xạ của mẫu bị phân rã. Sau mỗi khoảng $T$, số hạt nhân còn lại giảm đi một nửa, bất kể mẫu đang có bao nhiêu hạt. Từ đó có định luật phóng xạ:
$$N=N_0\cdot 2^{-t/T}=N_0 e^{-\lambda t},\qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{T}\approx\dfrac{0{,}693}{T}.$$
Đại lượng $\lambda$ gọi là hằng số phóng xạ, đơn vị là nghịch đảo thời gian. Vì khối lượng tỉ lệ thuận với số hạt nhân nên khối lượng chất phóng xạ còn lại cũng giảm theo đúng quy luật ấy: $m=m_0\cdot 2^{-t/T}$. Số hạt nhân đã phân rã là phần bù: $\Delta N=N_0-N=N_0\left(1-2^{-t/T}\right)$.
| Thời gian đã trôi | Còn lại | Đã phân rã | Tỉ số đã phân rã trên còn lại |
|---|---|---|---|
| $t=T$ | $50\%$ | $50\%$ | $1$ |
| $t=2T$ | $25\%$ | $75\%$ | $3$ |
| $t=3T$ | $12{,}5\%$ | $87{,}5\%$ | $7$ |
| $t=4T$ | $6{,}25\%$ | $93{,}75\%$ | $15$ |
Bảng này giải quyết được phần lớn câu hỏi của chương mà không cần bấm máy: chỉ cần đếm xem $t$ bằng bao nhiêu lần $T$. Khi $t$ không phải bội của $T$ thì mới dùng luỹ thừa, chẳng hạn $t=1{,}5T$ cho $2^{-1{,}5}\approx 0{,}354$.
Độ phóng xạ $H$ của một mẫu là số phân rã trong một giây, đo bằng becquerel: 1 Bq ứng với một phân rã mỗi giây. Ngoài ra còn đơn vị curie với 1 Ci bằng $3{,}7\cdot 10^{10}$ Bq. Hệ thức cơ bản là
$$H=\lambda N,\qquad\text{do đó}\qquad H=H_0\cdot 2^{-t/T}.$$
Nói cách khác, độ phóng xạ tỉ lệ thuận với số hạt nhân phóng xạ còn lại và giảm theo cùng một quy luật với $N$. Hai lưu ý về đơn vị: muốn ra becquerel thì $\lambda$ phải tính theo giây nghịch đảo, nên chu kì bán rã cho bằng giờ hay ngày đều phải đổi ra giây trước; và $N$ là số hạt nhân, muốn có nó từ khối lượng thì dùng $N=\dfrac{m}{A}N_A$ với $N_A=6{,}02\cdot 10^{23}$ hạt trên một mol.
Trong khí quyển, tia vũ trụ liên tục sinh ra $^{14}\text{C}$ nên tỉ lệ giữa $^{14}\text{C}$ và $^{12}\text{C}$ được giữ gần như không đổi. Cây cối trao đổi chất với khí quyển nên khi còn sống chúng có cùng tỉ lệ đó. Lúc cây chết, việc trao đổi ngừng lại, lượng $^{14}\text{C}$ chỉ còn giảm dần theo định luật phóng xạ với chu kì bán rã khoảng 5730 năm. So sánh độ phóng xạ của mẫu cổ với mẫu tươi cùng khối lượng, ta được
$$\dfrac{H}{H_0}=2^{-t/T}\ \Rightarrow\ t=T\cdot\dfrac{\ln\left(H_0/H\right)}{\ln 2}.$$
Trong đề thi, tỉ số $\dfrac{H_0}{H}$ hầu như luôn là một luỹ thừa của 2, nên chỉ cần đếm số lần chia đôi: bằng một nửa là $t=T$, bằng một phần tư là $t=2T$, bằng một phần tám là $t=3T$. Phương pháp này chỉ dùng được cho vật có nguồn gốc sinh vật và trong khoảng vài chục nghìn năm trở lại, vì xa hơn nữa thì lượng $^{14}\text{C}$ còn lại quá ít để đo.
| Công thức | Chỉ đúng khi | Hỏng khi |
|---|---|---|
| $N=N_0\cdot 2^{-t/T}$ | Số hạt nhân rất lớn — đây là một quy luật thống kê, không phải quy luật của từng hạt riêng lẻ | Hỏng khi mẫu chỉ còn vài chục hạt nhân: lúc đó thời điểm phân rã hoàn toàn ngẫu nhiên và công thức chỉ cho giá trị kỳ vọng. Cũng “hỏng” về mặt đọc kết quả nếu quên rằng $N$ là số hạt nhân của riêng đồng vị phóng xạ, không phải của cả mẫu có lẫn tạp chất bền. |
| $H=\lambda N$ với $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T}$ | $\lambda$ và đơn vị thời gian phải khớp với đơn vị của $H$ (becquerel đòi $\lambda$ tính theo s⁻¹) | Hỏng ngay khi trộn đơn vị: để $T$ ở giờ thì kết quả là số phân rã mỗi giờ, lệch 3600 lần so với becquerel. Ngoài ra $H=\lambda N$ chỉ đo phân rã của chất mẹ; nếu hạt nhân con cũng phóng xạ thì độ phóng xạ đo được của mẫu lớn hơn giá trị này. |
| $T$ là hằng số của đồng vị | Luôn đúng ở mọi điều kiện thông thường | Không phụ thuộc nhiệt độ, áp suất hay trạng thái hoá học — đun nóng hay hoà tan mẫu đều không đổi $T$. Đây là điểm khác hẳn phản ứng hoá học, và là chỗ đề thi hay hỏi để phân biệt. |
| Định tuổi bằng $^{14}\text{C}$ | Vật có nguồn gốc sinh vật, đã ngừng trao đổi chất, và tỉ lệ $^{14}\text{C}$ trong khí quyển thời điểm đó bằng hiện nay | Không dùng được cho đá, kim loại hay gốm (chưa từng trao đổi chất với khí quyển). Không dùng được cho mẫu quá cổ: sau khoảng 10 chu kì, tức chừng 57 000 năm, lượng $^{14}\text{C}$ còn dưới 0,1% và không đo nổi. Giả thiết tỉ lệ khí quyển không đổi cũng chỉ đúng gần đúng: việc đốt nhiên liệu hoá thạch và các vụ thử hạt nhân thế kỉ 20 đã làm tỉ lệ này thay đổi vài phần trăm, nên các phòng thí nghiệm phải hiệu chỉnh theo bảng chuẩn. |
$\dfrac{t}{T}=\dfrac{32}{8}=4$, nghĩa là đã trôi qua đúng 4 chu kì bán rã. Khi tỉ số này là số nguyên thì không cần bấm máy, chỉ việc chia đôi liên tiếp.
Khối lượng tỉ lệ thuận với số hạt nhân nên định luật phóng xạ viết được cho khối lượng: $m=m_0\cdot 2^{-t/T}$. Điều kiện áp dụng: $m$ ở đây là khối lượng của riêng đồng vị phóng xạ $^{131}\text{I}$, không phải khối lượng cả mẫu. Nếu mẫu có lẫn tạp chất bền thì phần tạp chất đó không giảm theo quy luật này.
$$m=m_0\cdot 2^{-t/T}=200\cdot 2^{-4}=\dfrac{200}{16}=12{,}5\ \text{g}.$$
Sau 8 ngày còn 100 g, sau 16 ngày còn 50 g, sau 24 ngày còn 25 g, sau 32 ngày còn 12,5 g. Hai đường tính cho cùng một kết quả.
Kiểm thứ nguyên: thừa số $2^{-t/T}$ có số mũ là tỉ số của hai khoảng thời gian nên không có đơn vị (ở đây cả $t$ và $T$ đều tính bằng ngày, không cần đổi ra giây), do đó $m$ giữ nguyên đơn vị gam của $m_0$. Đây cũng là phép kiểm cho thấy vì sao ở dạng bài này không cần đổi đơn vị thời gian, khác hẳn dạng bài tính độ phóng xạ ở ví dụ 3.
Khối lượng $^{131}\text{I}$ còn lại là $m=12{,}5$ g. Phần đã phân rã là $200-12{,}5=187{,}5$ g, tức 93,75% khối lượng ban đầu — đúng với dòng $t=4T$ trong bảng lý thuyết.
Coi sự giảm là tuyến tính theo thời gian và lấy $200\cdot\dfrac{8}{32}=50$ g — đúng bằng giá trị sau một chu kì chứ không phải bốn, tức lớn hơn đáp số đúng 4 lần. Xem lại nét đứt đỏ trên đồ thị phân rã ở phần lý thuyết để thấy hai quy luật tách nhau ra sao. Bẫy thứ hai: trả lời phần đã phân rã (187,5 g) khi đề hỏi phần còn lại — hai con số này gần như luôn cùng có mặt trong bốn phương án.
Bài cho hai giá trị độ phóng xạ ở hai thời điểm và hỏi chu kì bán rã, nên dùng $H=H_0\cdot 2^{-t/T}$ rồi rút $T$. Không cần biết số hạt nhân hay khối lượng: vì $H=\lambda N$ với $\lambda$ là hằng số của chất, độ phóng xạ tỉ lệ thuận với $N$ nên tỉ số của chúng bằng nhau.
$$\dfrac{H_0}{H}=\dfrac{1{,}6\cdot 10^{6}}{2\cdot 10^{5}}=8=2^{3}\ \Longrightarrow\ 2^{t/T}=2^{3}\ \Longrightarrow\ \dfrac{t}{T}=3.$$
$$T=\dfrac{t}{3}=\dfrac{30}{3}=10\ \text{giờ}.$$
Đi ngược lại từ $T=10$ giờ và kiểm từng chu kì:
Sau 10 giờ còn $8\cdot 10^{5}$ Bq, sau 20 giờ còn $4\cdot 10^{5}$ Bq, sau 30 giờ còn $2\cdot 10^{5}$ Bq — đúng đề bài.
Tỉ số $\dfrac{H_0}{H}$ là tỉ số hai đại lượng cùng đơn vị becquerel nên không có đơn vị, hợp lệ để làm số mũ. Kết quả $T=\dfrac{t}{3}$ giữ nguyên đơn vị thời gian của $t$, tức giờ. Nếu ai viết $T=\dfrac{t}{H_0/H}$ mà quên rằng 8 là luỹ thừa chứ không phải hệ số thì kết quả vẫn ra đơn vị giờ — nên phép kiểm thứ nguyên không bắt được lỗi đó, phải kiểm bằng cách chia đôi xuôi như bước 4.
Chu kì bán rã của chất phóng xạ là $T=10$ giờ. Mẹo làm nhanh của dạng này: chia $H_0$ cho $H$, nếu ra một luỹ thừa của 2 thì số mũ chính là số chu kì bán rã đã trôi qua.
Chia thời gian cho tỉ số độ phóng xạ và trả lời $T=\dfrac{30}{8}=3{,}75$ giờ thay vì 10 giờ — nhầm quan hệ luỹ thừa thành quan hệ tỉ lệ, sai 2,7 lần. Bẫy thứ hai: đọc “sau 30 giờ” thành “trong giờ thứ 30” rồi lấy $t=29$. Bẫy thứ ba: khi tỉ số không phải luỹ thừa của 2 (ví dụ $\dfrac{H_0}{H}=5$) thì bắt buộc dùng logarit $T=\dfrac{t\ln 2}{\ln(H_0/H)}$; ép nó về luỹ thừa gần nhất ($2^2=4$) sẽ cho $T=15$ giờ trong khi đáp số đúng là 12,9 giờ.
Số khối của đồng vị là 24 nên khối lượng mol xấp xỉ 24 g/mol, do đó mẫu có đúng 1 mol:
$$N_0=\dfrac{m}{A}N_A=\dfrac{24}{24}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}=6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{hạt}.$$
Becquerel là số phân rã trong một giây, nên $\lambda$ bắt buộc phải tính theo giây nghịch đảo. Đổi chu kì bán rã: $T=15$ giờ $=15\cdot 3600=54\,000$ s.
$$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T}=\dfrac{0{,}693}{54\,000}\approx 1{,}283\cdot 10^{-5}\ \text{s}^{-1}.$$
Điều kiện áp dụng: hệ thức $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T}$ luôn đúng, nhưng đơn vị của $\lambda$ bám theo đơn vị của $T$. Để $T$ ở giờ thì $\lambda$ ra giờ nghịch đảo và kết quả cuối sẽ là số phân rã mỗi giờ, không phải becquerel.
$$H_0=\lambda N_0=1{,}283\cdot 10^{-5}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}\approx 7{,}72\cdot 10^{18}\ \text{Bq}.$$
$[\lambda]\cdot[N]=\text{s}^{-1}\cdot(\text{số hạt})=\dfrac{\text{số phân rã}}{\text{s}}=\text{Bq}$ — đúng định nghĩa becquerel. Số hạt nhân là một con số thuần, không có đơn vị, nên toàn bộ đơn vị của kết quả đến từ $\lambda$. Đây chính là lý do bước đổi giờ ra giây ở trên là bắt buộc.
Ước lượng thô: trong 15 giờ (54 000 s) một nửa số hạt phân rã, tức khoảng $3\cdot 10^{23}$ hạt, cho tốc độ trung bình $\dfrac{3\cdot 10^{23}}{54\,000}\approx 5{,}6\cdot 10^{18}$ phân rã mỗi giây. Giá trị ban đầu phải lớn hơn giá trị trung bình đó một chút, và $7{,}72\cdot 10^{18}$ Bq đúng là như vậy. Đối chiếu thêm: 1 Ci $=3{,}7\cdot 10^{10}$ Bq, nên mẫu này mạnh khoảng $2\cdot 10^{8}$ Ci — một mẫu 1 mol $^{24}\text{Na}$ nguyên chất quả thật là nguồn cực mạnh, không tồn tại trong phòng thí nghiệm thông thường.
Độ phóng xạ ban đầu của mẫu là $H_0\approx 7{,}72\cdot 10^{18}$ Bq.
Quên đổi 15 giờ ra giây cho $\lambda=0{,}0462$ giờ$^{-1}$ và $H_0\approx 2{,}78\cdot 10^{22}$ — con số này là số phân rã mỗi giờ, lớn hơn giá trị đúng theo becquerel đúng 3600 lần, mà vẫn trông rất giống một phương án có sẵn. Bẫy thứ hai: dùng $\lambda=\dfrac{1}{T}$ thay vì $\dfrac{\ln 2}{T}$, cho $H_0\approx 1{,}11\cdot 10^{19}$ Bq — lớn hơn 44%. Bẫy thứ ba: lấy khối lượng mol của natri bền là 23 g/mol thay vì số khối 24 của chính đồng vị đang xét, làm $N_0$ lệch 4%.