Với một lượng khí lí tưởng xác định (số phân tử không đổi), ba thông số trạng thái là áp suất $p$, thể tích $V$ và nhiệt độ tuyệt đối $T$. Giữ cố định một thông số, hai thông số còn lại ràng buộc nhau theo một định luật thực nghiệm riêng.
| Quá trình | Giữ cố định | Hệ thức | Dạng đồ thị |
|---|---|---|---|
| Đẳng nhiệt (định luật Boyle) | $T$ | $pV$ không đổi, hay $p_1V_1=p_2V_2$ | Trong hệ $(p,V)$: một nhánh hypebol. Trong hệ $(p,T)$ và $(V,T)$: đoạn thẳng vuông góc trục $OT$ |
| Đẳng tích (định luật Gay-Lussac) | $V$ | $\dfrac{p}{T}$ không đổi, hay $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$ | Trong hệ $(p,T)$: đường thẳng đi qua gốc toạ độ |
| Đẳng áp (định luật Charles) | $p$ | $\dfrac{V}{T}$ không đổi, hay $\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$ | Trong hệ $(V,T)$: đường thẳng đi qua gốc toạ độ |
Chú ý chữ tuyệt đối: cả ba hệ thức chỉ đúng khi $T$ đo bằng kelvin. Liên hệ giữa hai thang nhiệt độ là $T\,(\text{K})=t\,(^\circ\text{C})+273$. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả chương.
Ghép ba định luật trên lại, ta được phương trình trạng thái cho một lượng khí xác định:
$$\dfrac{pV}{T}=\text{hằng số}\qquad\text{hay}\qquad \dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}.$$
Đây là công thức bao trùm: cố định $T$ thì rút ra định luật Boyle, cố định $V$ thì rút ra $\dfrac{p}{T}$ không đổi, cố định $p$ thì rút ra định luật Charles. Vì vậy trong phòng thi chỉ cần nhớ một công thức này rồi lược bớt thông số không đổi, không cần nhớ ba công thức rời.
Hai hệ quả dùng được ngay:
Khi cần so sánh những lượng khí khác nhau, hằng số ở vế phải phụ thuộc số mol. Với $n$ mol khí lí tưởng:
$$pV=nRT=\dfrac{m}{M}RT,$$
trong đó $R=8{,}31$ J/(mol·K) là hằng số khí lí tưởng. Ở dạng này đơn vị bắt buộc theo hệ SI: $p$ tính bằng pascal, $V$ tính bằng mét khối (1 lít bằng $10^{-3}$ m³), $T$ tính bằng kelvin. Đổi 20 lít thành 20 m³ là sai đúng một nghìn lần và kết quả vẫn "nhìn hợp lý", nên phải đổi đơn vị ngay từ dòng đầu.
Từ $pV=nRT$ suy ra: ở cùng $p$ và $T$, thể tích tỉ lệ thuận với số mol; ở cùng $V$ và $T$, áp suất tỉ lệ thuận với số mol. Hệ quả này dùng để giải các bài "mở van cho khí thoát bớt": phần trăm khí còn lại chính là tỉ số $\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{p_2V_2T_1}{p_1V_1T_2}$.
| Đại lượng | Quy đổi |
|---|---|
| Nhiệt độ | $T\,(\text{K})=t\,(^\circ\text{C})+273$; ví dụ 27 °C ứng với 300 K, −23 °C ứng với 250 K |
| Áp suất | 1 atm bằng $1{,}013\cdot 10^{5}$ Pa; 1 bar bằng $10^{5}$ Pa; 1 atm bằng 760 mmHg |
| Thể tích | 1 lít bằng $10^{-3}$ m³; 1 ml bằng $10^{-6}$ m³ |
| Hằng số khí | $R=8{,}31$ J/(mol·K) khi dùng đúng đơn vị SI |
Quy tắc làm bài: viết ra bảng hai cột "trạng thái 1 – trạng thái 2", điền đủ sáu ô $p_1,V_1,T_1,p_2,V_2,T_2$, gạch chéo ô nào không đổi, rồi mới thay số. Làm theo thứ tự này thì hầu như không thể nhầm định luật.
| Hệ thức | Chỉ đúng khi | Hỏng khi |
|---|---|---|
| $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ | Cùng một lượng khí (số mol không đổi) và khí đủ loãng để coi là lí tưởng | Hỏng ngay khi có khí thoát ra hoặc bơm thêm vào, kể cả rò rỉ nhỏ. Bài “mở van cho khí thoát bớt” phải chuyển sang $pV=nRT$ và so sánh số mol qua $\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{p_2V_2T_1}{p_1V_1T_2}$. |
| Mọi hệ thức có $T$ | $T$ đo bằng kelvin | Hỏng tuyệt đối với độ Celsius, vì thang này có gốc dời nên tỉ số hai giá trị không mang ý nghĩa vật lí. Trường hợp cực đoan: khí ở 0 °C có $T=273$ K chứ không phải 0, nên tỉ số với 0 °C sẽ chia cho 0. |
| $pV=nRT$ với $R=8{,}31$ | Đơn vị hệ SI: pascal, mét khối, kelvin, mol | Hỏng khi trộn đơn vị. Nếu muốn dùng atm và lít thì phải đổi hằng số thành $R=0{,}082$ atm·lít/(mol·K); lấy nhầm hằng số của hệ này cho hệ kia là sai khoảng 100 lần. |
| Mô hình khí lí tưởng nói chung | Khí loãng: thể tích riêng của phân tử và lực hút giữa chúng đều bỏ qua được | Hỏng ở áp suất rất cao (từ vài trăm atm trở lên) và ở nhiệt độ rất thấp, gần điểm hoá lỏng. Khi ấy tích $pV$ của khí thực lệch khỏi $nRT$ tới hàng chục phần trăm và phải dùng phương trình van der Waals. Hơi nước gần bão hoà cũng không phải khí lí tưởng — đó là lý do không được áp phương trình trạng thái cho hơi nước trong nồi áp suất đang có nước sôi. |
Đề nói rõ “nén đẳng nhiệt” nên $T$ không đổi. Trong phương trình trạng thái $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$, hai chữ $T$ ở hai mẫu bằng nhau nên triệt tiêu, còn lại đúng định luật Boyle $p_1V_1=p_2V_2$. Không cần nhớ ba công thức rời, chỉ cần gạch bỏ thông số đề nói là giữ nguyên.
Trạng thái 1: $p_1=1{,}5$ atm, $V_1=8$ lít. Trạng thái 2: $V_2=5$ lít, cần tìm $p_2$. Ô $T_1$ và $T_2$ gạch chéo vì bằng nhau.
$$p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_2}=\dfrac{1{,}5\cdot 8}{5}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\ \text{atm}.$$
Không cần đổi atm sang pascal và cũng không cần đổi lít sang mét khối, vì hai vế của hệ thức cùng một loại đơn vị nên các hệ số quy đổi tự triệt tiêu. Chỉ khi dùng phương trình Clapeyron – Mendeleev $pV=nRT$ mới bắt buộc quy về hệ SI.
Kiểm thứ nguyên biểu thức vừa rút: $\dfrac{\text{atm}\cdot\text{lít}}{\text{lít}}=\text{atm}$ — ra đúng đơn vị áp suất, không thừa không thiếu thừa số nào.
Thể tích giảm từ 8 xuống 5 lít, tức giảm 1,6 lần, nên áp suất phải tăng đúng 1,6 lần: $1{,}5\cdot 1{,}6=2{,}4$ atm. Hai cách tính cho cùng con số.
Áp suất của khí sau khi nén là $p_2=2{,}4$ atm.
Lật ngược tỉ số cho $p_2=\dfrac{1{,}5\cdot 5}{8}=0{,}94$ atm, tức nhỏ hơn áp suất ban đầu trong khi khí đang bị nén — sai cả chiều lẫn độ lớn (lệch 2,56 lần). Bẫy thứ hai, tinh vi hơn: bài này không cho nhiệt độ nên nhiều bạn tự ý “đổi 0 °C sang 273 K” rồi nhân thêm một tỉ số nhiệt độ không tồn tại; đề đã nói đẳng nhiệt thì tỉ số ấy bằng đúng 1.
Khí vừa bị nén (thể tích đổi) vừa bị nung nóng (nhiệt độ đổi) và đề hỏi áp suất, nên phải dùng phương trình trạng thái đầy đủ, không được dùng riêng một định luật thành phần.
$T_1=27+273=300$ K và $T_2=87+273=360$ K. Đây là bước bắt buộc và không thể bỏ qua: mọi hệ thức của chương đều dùng nhiệt độ tuyệt đối, vì thang Celsius có gốc dời nên tỉ số hai nhiệt độ Celsius không có ý nghĩa vật lí nào.
Trạng thái 1: $p_1=2$ atm, $V_1=10$ lít, $T_1=300$ K. Trạng thái 2: $V_2=5$ lít, $T_2=360$ K, cần tìm $p_2$.
$$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}\ \Longrightarrow\ p_2=p_1\cdot\dfrac{V_1}{V_2}\cdot\dfrac{T_2}{T_1}=2\cdot\dfrac{10}{5}\cdot\dfrac{360}{300}=2\cdot 2\cdot 1{,}2=4{,}8\ \text{atm}.$$
Hai thừa số $\dfrac{V_1}{V_2}=2$ và $\dfrac{T_2}{T_1}=1{,}2$ chính là hai chặng trên hình: nén đẳng nhiệt rồi nung đẳng tích.
Thứ nguyên: hai thừa số $\dfrac{V_1}{V_2}$ và $\dfrac{T_2}{T_1}$ đều là tỉ số của hai đại lượng cùng loại nên không có đơn vị; do đó $p_2$ giữ nguyên đơn vị atm của $p_1$. Nếu ai viết nhầm $p_2=p_1\dfrac{V_1T_2}{V_2T_1}$ thành $p_1\dfrac{V_1T_2}{T_1}$ thì thứ nguyên còn dư một đơn vị thể tích và lỗi lộ ngay tại đây.
Kiểm chiều: khí vừa bị nén (áp suất tăng) vừa bị nung nóng (áp suất cũng tăng), nên $p_2$ phải lớn hơn 2 atm khá nhiều. Kết quả 4,8 atm phù hợp cả chiều lẫn độ lớn.
Áp suất của khí ở trạng thái sau là $p_2=4{,}8$ atm, tức khoảng $4{,}9\cdot 10^{5}$ Pa.
Giữ nguyên 27 và 87 thay vì đổi sang kelvin cho $\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{87}{27}\approx 3{,}22$ và $p_2\approx 12{,}9$ atm thay vì 4,8 atm — sai 2,7 lần. Bẫy thứ hai: chỉ dùng định luật Boyle, bỏ mất thừa số nhiệt độ, cho $p_2=4$ atm — hụt 17% và 4 atm gần như chắc chắn là một trong bốn phương án. Bẫy thứ ba: đảo tỉ số nhiệt độ thành $\dfrac{T_1}{T_2}$, cho $p_2=3{,}33$ atm, tức báo rằng nung nóng làm khí giảm áp suất.
Bài hỏi số mol nên phải dùng phương trình Clapeyron – Mendeleev $pV=nRT$. Phương trình trạng thái $\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$ không dùng được ở đây vì nó chỉ so sánh hai trạng thái của cùng một lượng khí và đã triệt tiêu mất số mol.
Áp suất đã ở pascal: $p=2{,}493\cdot 10^{5}$ Pa. Thể tích phải đổi: $V=20$ lít $=20\cdot 10^{-3}=0{,}02$ m³. Nhiệt độ: $T=27+273=300$ K. Với $pV=nRT$ thì việc quy về hệ SI là bắt buộc, không giống hai hệ thức so sánh hai trạng thái ở trên.
$$n=\dfrac{pV}{RT}=\dfrac{2{,}493\cdot 10^{5}\cdot 0{,}02}{8{,}31\cdot 300}=\dfrac{4986}{2493}=2\ \text{mol}.$$
Tử số: $[\text{Pa}]\cdot[\text{m}^3]=\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}\cdot\text{m}^3=\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}$. Mẫu số: $\left[\dfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}\right]\cdot[\text{K}]=\dfrac{\text{J}}{\text{mol}}$. Thương của chúng: $\text{J}\div\dfrac{\text{J}}{\text{mol}}=\text{mol}$ — đúng đại lượng cần tìm. Phép kiểm này chính là thứ bắt được lỗi để thể tích ở đơn vị lít.
Ở điều kiện tiêu chuẩn, 1 mol khí chiếm khoảng 22,4 lít. Bình 20 lít ở áp suất khoảng 2,5 lần áp suất khí quyển thì phải chứa cỡ $\dfrac{20}{22{,}4}\cdot 2{,}5\approx 2{,}2$ mol — cùng thang bậc với kết quả 2 mol. Số mol khí trong một bình vài chục lít luôn chỉ cỡ vài mol, không bao giờ tới hàng nghìn.
Trong bình có $n=2$ mol khí. Nếu đó là không khí ($M\approx 29$ g/mol) thì khối lượng khí xấp xỉ 58 g.
Quên đổi lít sang mét khối cho $n=2000$ mol, tức khoảng 2 kmol khí trong một bình 20 lít — sai đúng 1000 lần, một con số vô lý mà bước kiểm thứ nguyên và bước ước lượng đều phát hiện ra ngay. Bẫy thứ hai: để nhiệt độ ở 27 thay vì 300 K, cho $n\approx 22{,}2$ mol, lớn hơn 11 lần. Bẫy thứ ba: lấy $R=0{,}082$ (hằng số dùng với atm và lít) trong khi áp suất đang tính bằng pascal — trộn hai hệ đơn vị là sai gần 100 lần.