Quá trình đẳng nhiệt là quá trình biến đổi trạng thái của một lượng khí xác định trong đó nhiệt độ được giữ không đổi. Hai chữ "lượng khí xác định" quan trọng không kém: số phân tử khí trong bình phải không đổi, không rò rỉ ra ngoài và không bơm thêm vào.
Trong thực tế, một quá trình được coi là đẳng nhiệt khi nó diễn ra đủ chậm để khí kịp trao đổi nhiệt với môi trường và giữ nguyên nhiệt độ môi trường. Nén nhanh một chiếc bơm xe đạp thì thân bơm nóng lên rõ rệt — đó không còn là quá trình đẳng nhiệt nữa.
Thực nghiệm cho thấy: ở nhiệt độ không đổi, áp suất của một lượng khí xác định tỉ lệ nghịch với thể tích của nó. Viết thành hệ thức:
$$pV=\text{hằng số}\qquad\text{hay}\qquad p_1V_1=p_2V_2.$$
Hai hệ quả dùng ngay được:
Cách kiểm nhanh mọi lời giải: khí bị nén thì áp suất phải tăng, khí giãn thì áp suất phải giảm. Kết quả đi ngược chiều đó nghĩa là đã lật ngược tỉ số thể tích.
| Hệ toạ độ | Dạng đường đẳng nhiệt | Vì sao |
|---|---|---|
| $(p,V)$ — trục hoành $V$, trục tung $p$ | một nhánh hypebol | $p=\dfrac{\text{hằng số}}{V}$ là hàm tỉ lệ nghịch |
| $(p,T)$ — trục hoành $T$, trục tung $p$ | đoạn thẳng vuông góc trục $OT$, tức song song trục $Op$ | $T$ giữ nguyên nên mọi điểm có cùng hoành độ |
| $(V,T)$ — trục hoành $T$, trục tung $V$ | đoạn thẳng vuông góc trục $OT$, tức song song trục $OV$ | cùng lý do: $T$ là hằng số |
Trong hệ $(p,V)$, mỗi nhiệt độ cho một nhánh hypebol riêng, gọi là một đường đẳng nhiệt. Vì $pV$ tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối nên nhiệt độ càng cao, đường đẳng nhiệt càng nằm xa gốc toạ độ. Hai đường đẳng nhiệt của cùng một lượng khí không bao giờ cắt nhau.
| Tình huống | Cách quy về định luật Boyle |
|---|---|
| Bọt khí nổi lên từ đáy hồ | Áp suất ở độ sâu $h$ là $p=p_0+\rho gh$, ở mặt nước là $p_0$. Nước ở hồ sâu coi như cùng nhiệt độ nên dùng $p_1V_1=p_2V_2$. Bọt nổi lên thì áp suất giảm nên thể tích tăng. |
| Bơm khí vào bình | Quy toàn bộ lượng khí về cùng một áp suất chuẩn: khí có sẵn trong bình cộng với khí của $n$ lần bơm, tất cả đo ở áp suất khí quyển, rồi nén vào đúng thể tích bình. |
| Hút khí ra khỏi bình | Mỗi lần hút, khí trong bình giãn từ $V$ ra $V+V_{xilanh}$ rồi phần trong xilanh bị lấy đi. Sau mỗi lần, áp suất nhân thêm hệ số $\dfrac{V}{V+V_{xilanh}}$. |
| Cột khí trong ống hay xilanh | Tiết diện không đổi nên thể tích tỉ lệ với chiều dài cột khí; được phép thay $V$ bằng chiều dài $\ell$ trong hệ thức Boyle. |
Công thức bơm khí viết gọn: nếu bình thể tích $V_0$ đang có khí ở áp suất $p_0$, mỗi lần bơm đưa vào một thể tích $\Delta V$ khí ở áp suất $p_0$, thì sau $n$ lần bơm áp suất trong bình là
$$p=p_0\cdot\dfrac{V_0+n\,\Delta V}{V_0}.$$
Lỗi kinh điển ở đây là quên lượng khí có sẵn trong bình, tức bỏ mất số hạng $V_0$ ở tử số. Cách tự kiểm: cho $n=0$, công thức phải trả lại đúng $p=p_0$.
| Điều kiện | Vì sao cần | Hỏng khi |
|---|---|---|
| Nhiệt độ không đổi | $pV$ tỉ lệ với $T$; $T$ đổi thì tích $pV$ đổi theo | Nén nhanh (bơm xe đạp, xilanh động cơ): khí không kịp trao đổi nhiệt, nhiệt độ tăng nên áp suất tăng nhiều hơn dự đoán của Boyle. Bài nào có chữ “nhanh”, “đột ngột”, “cách nhiệt” thì phải nghi ngờ ngay. |
| Lượng khí xác định | Hằng số ở vế phải tỉ lệ với số mol | Bình có van rò, bài bơm thêm khí vào hoặc xả bớt khí ra. Khi ấy phải chuyển sang $pV=nRT$ và so sánh số mol, hoặc quy mọi phần khí về cùng một áp suất chuẩn như ở bảng trên. |
| Khí đủ loãng để coi là khí lí tưởng | Mô hình bỏ qua thể tích riêng của phân tử và lực hút giữa chúng | Ở áp suất rất cao (cỡ vài trăm atm) hoặc nhiệt độ rất thấp, tích $pV$ của khí thực lệch khỏi hằng số tới hàng chục phần trăm: thể tích riêng của các phân tử làm khí khó nén hơn dự đoán, còn lực hút phân tử lại làm nó dễ nén hơn ở vùng áp suất trung bình. Trong đề phổ thông, mọi khí đều được cho là lí tưởng nên không phải xét, nhưng cần biết giới hạn này tồn tại. |
Một điều kiện ngầm nữa: bài bọt khí nổi lên chỉ dùng được Boyle khi bọt nổi đủ chậm để khí bên trong kịp lấy nhiệt độ của nước, và khi bỏ qua áp suất phụ do sức căng mặt ngoài của bọt (áp suất phụ này chỉ đáng kể với bọt cỡ micromét, không đáng kể với bọt cỡ milimét trong đề thi).
Điều kiện thứ nhất: nhiệt độ không đổi — đề nói rõ “nén đẳng nhiệt”. Điều kiện thứ hai: lượng khí xác định, không rò rỉ và không bơm thêm — đề không nhắc tới việc nào khác nên coi như thoả. Thiếu một trong hai thì phải chuyển sang phương trình trạng thái đầy đủ.
Trạng thái 1: $p_1=1$ atm, $V_1=12$ lít. Trạng thái 2: $V_2=4$ lít, cần tìm $p_2$. Viết ra bảng trước khi thay số là cách rẻ nhất để không lật ngược tỉ số.
$$p_1V_1=p_2V_2\ \Longrightarrow\ p_2=\dfrac{p_1V_1}{V_2}=\dfrac{1\cdot 12}{4}=3\ \text{atm}.$$
Không cần đổi atm sang pascal, cũng không cần đổi lít sang mét khối, vì hai vế của hệ thức cùng loại đơn vị nên hệ số quy đổi tự triệt tiêu. Điều kiện duy nhất: $p_1$ và $p_2$ cùng đơn vị, $V_1$ và $V_2$ cùng đơn vị.
Kiểm thứ nguyên của biểu thức vừa rút: $\dfrac{[\text{atm}]\cdot[\text{lít}]}{[\text{lít}]}=[\text{atm}]$ — ra đúng đơn vị áp suất. Nếu ai viết nhầm $p_2=p_1V_1V_2$ thì thứ nguyên sẽ là atm·lít², sai ngay ở bước kiểm này. Chỉ khi dùng phương trình Clapeyron $pV=nRT$ mới bắt buộc quy hết về hệ SI.
Thể tích giảm đúng ba lần ($12\to 4$) thì áp suất phải tăng đúng ba lần ($1\to 3$). Trên hình, điểm (2) nằm cao hơn và lệch trái so với điểm (1), đúng dáng điệu của một nhánh hypebol.
Áp suất của khí sau khi nén là $p_2=3$ atm, tức khoảng $3{,}04\cdot 10^{5}$ Pa nếu cần quy ra hệ SI.
Viết nhầm $p_2=\dfrac{p_1V_2}{V_1}=\dfrac{1\cdot 4}{12}\approx 0{,}33$ atm — nhỏ hơn áp suất ban đầu trong khi khí đang bị nén, tức sai chiều hoàn toàn và lệch đáp số đúng 9 lần. Bẫy thứ hai: đổi 4 lít thành $4\cdot 10^{-3}$ m³ nhưng để 12 lít nguyên, cho $p_2=3000$ atm. Cứ đổi thì phải đổi cả hai.
Lượng khí trong bọt không đổi (bọt không tan vào nước, không nhập với bọt khác), nhiệt độ coi như không đổi vì đề nói nước cùng nhiệt độ ở mọi độ sâu. Chỉ áp suất và thể tích thay đổi — đúng khuôn định luật Boyle.
Áp suất toàn phần bằng áp suất khí quyển cộng áp suất do cột nước gây ra:
$$p_1=p_0+\rho gh=10^{5}+1000\cdot 10\cdot 15=10^{5}+1{,}5\cdot 10^{5}=2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{Pa}.$$
Chỗ hay quên nhất là bỏ sót số hạng $p_0$. Ghi nhớ con số: cứ mỗi 10 m nước, áp suất tăng thêm đúng $10^{5}$ Pa, bằng một lần áp suất khí quyển.
Ở ngay mặt thoáng, cột nước phía trên bọt bằng không nên $p_2=p_0=10^{5}$ Pa.
$$V_2=\dfrac{p_1V_1}{p_2}=\dfrac{2{,}5\cdot 10^{5}\cdot 1}{10^{5}}=2{,}5\ \text{cm}^3.$$
Không cần đổi cm³ sang m³ vì $V_1$ và $V_2$ cùng đơn vị nên hệ số quy đổi triệt tiêu; nhưng $p_0$ và $\rho gh$ thì bắt buộc cùng pascal, và trong $\rho gh$ thì $\rho$ phải tính bằng kg/m³, $h$ bằng mét.
Thứ nguyên của $\rho gh$: $\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{m}=\dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}=\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}=\text{Pa}$ — cộng được với $p_0$. Nếu ai quên bình phương ở mét khối thì đơn vị sẽ không ra pascal và lỗi lộ ngay tại đây.
Kiểm chiều: bọt đi lên thì áp suất tác dụng lên nó giảm, nên thể tích phải tăng; $2{,}5$ cm³ lớn hơn 1 cm³, đúng chiều.
Thể tích bọt khí khi vừa lên tới mặt nước là $V_2=2{,}5$ cm³, tức gấp 2,5 lần thể tích ban đầu. Bán kính bọt chỉ tăng $\sqrt[3]{2{,}5}\approx 1{,}36$ lần, đúng như tỉ lệ hai vòng tròn trên hình.
Quên số hạng $p_0$: lấy $p_1=\rho gh=1{,}5\cdot 10^{5}$ Pa cho $V_2=1{,}5$ cm³ thay vì 2,5 cm³ — hụt đúng 1 cm³ và rơi trúng một phương án nhiễu quen thuộc. Bẫy thứ hai: dùng $h$ tính bằng centimét hay $\rho$ tính bằng g/cm³, làm $\rho gh$ lệch $10^{3}$ lần. Bẫy thứ ba, tinh vi hơn: bài nào nói bọt khí nổi lên rất nhanh thì khí không kịp trao đổi nhiệt với nước, quá trình không còn đẳng nhiệt và định luật Boyle không áp dụng được nữa.
Bài bơm khí thì mỗi lần đưa thêm khí vào bình, còn bài hút thì mỗi lần lấy bớt khí ra. Cơ chế một lần hút gồm hai công đoạn: khí trong bình giãn đẳng nhiệt để chiếm thêm thể tích xilanh, sau đó phần khí nằm trong xilanh bị đẩy hẳn ra ngoài.
Khi kéo pit-tông, khí đang ở áp suất $p$ trong thể tích $V_0=3$ lít giãn đẳng nhiệt ra thể tích $V_0+V_x=3+1=4$ lít:
$$p\,V_0=p'\,(V_0+V_x)\ \Longrightarrow\ p'=p\cdot\dfrac{V_0}{V_0+V_x}=p\cdot\dfrac{3}{4}.$$
Sau đó đóng van và đẩy hết phần khí trong xilanh ra ngoài; khí còn lại trong bình vẫn ở áp suất $p'$ và chiếm đúng 3 lít.
Mỗi lần hút nhân áp suất thêm đúng hệ số $\dfrac{3}{4}$, hệ số này không phụ thuộc vào lần thứ mấy vì thể tích bình và thể tích xilanh đều không đổi. Sau $n$ lần hút:
$$p_n=p_0\left(\dfrac{V_0}{V_0+V_x}\right)^{n}=p_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}.$$
$$p_2=10^{5}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=10^{5}\cdot\dfrac{9}{16}=5{,}625\cdot 10^{4}\ \text{Pa}.$$
Thứ nguyên: hệ số $\left(\dfrac{V_0}{V_0+V_x}\right)^{n}$ là một tỉ số thể tích nên không có đơn vị; do đó $p_n$ giữ nguyên đơn vị của $p_0$, tức pascal. Nếu ai lỡ viết $p_n=p_0\dfrac{V_0^n}{V_0+V_x}$ thì thứ nguyên sẽ ra Pa·lít, sai lộ ngay.
Kiểm bằng trường hợp riêng: cho $n=0$ thì công thức trả lại đúng $p_0=10^{5}$ Pa. Cho $n=1$ ra $7{,}5\cdot 10^{4}$ Pa, và hút lần hai từ đó cũng cho $7{,}5\cdot 10^{4}\cdot 0{,}75=5{,}625\cdot 10^{4}$ Pa — khớp với kết quả tính một mạch.
Áp suất khí còn lại trong bình sau 2 lần hút là $p_2=5{,}625\cdot 10^{4}$ Pa, tức khoảng 56% áp suất ban đầu.
Nhầm quy luật nhân thành quy luật trừ: “mỗi lần hút mất một phần tư của $10^{5}$ Pa” cho $p_2=10^{5}-2\cdot 2{,}5\cdot 10^{4}=5{,}0\cdot 10^{4}$ Pa thay vì $5{,}625\cdot 10^{4}$ Pa. Con số 5,0·10⁴ luôn có mặt trong bốn phương án. Chính vì quy luật là nhân chứ không phải trừ mà một bơm hút thông thường không bao giờ tạo được chân không tuyệt đối: sau 10 lần hút vẫn còn $10^{5}\cdot 0{,}75^{10}\approx 5{,}6\cdot 10^{3}$ Pa. Bẫy thứ hai là dùng công thức của bài bơm vào ($p_n=p_0\dfrac{V_0+nV_x}{V_0}$), cho $1{,}67\cdot 10^{5}$ Pa — tăng thay vì giảm, sai cả chiều.